Oznaczenia całek i postaci wzorów

01 Definicja

Oznaczenia całek i postaci wzorów

ang. integral notation & field forms. Krótki przewodnik po symbolice używanej w prawach na tej stronie — żeby wiedzieć, po czym się całkuje i czym różnią się poszczególne postacie wzoru, bez zgadywania.

Symbole całek (co jest obszarem całkowania):
• $\int_{a}^{b} f\,dx$ — całka oznaczona: sumowanie po jednej zmiennej od granicy dolnej $a$ do górnej $b$ (np. po czasie: $\int_{0}^{t}$).
• $\oint_{C}$ — po konturze zamkniętym $C$ (pętli, krzywej 1D wracającej do punktu startu).
• $\iint_{S}$ — po powierzchni otwartej $S$ (płacie 2D rozpiętym na konturze, jak błona na obręczy).
• $\oiint_{\partial V}$ — po powierzchni zamkniętej $\partial V$ (otoczce bryły — skorupce zamykającej objętość $V$).
• $\iiint_{V}$ — po objętości $V$ (całym wnętrzu bryły 3D).

Dlaczego jedne mają „kółko", a inne granice:
• Kółko na całce ($\oint$, $\oiint$) oznacza obszar ZAMKNIĘTY — pętlę lub otoczkę, która sama się domyka. Nie podaje się wtedy granic liczbowych; „zakresem" jest sama nazwana krzywa $C$ albo powierzchnia $\partial V$.
• Bez kółka obszar jest OTWARTY — trzeba go wskazać ($S$, $V$) albo podać granice ($\int_{0}^{t}$), bo inaczej nie wiadomo, dokąd sumować.
• Zapis $\partial V$ czytamy „brzeg $V$": brzegiem objętości (3D) jest otaczająca ją powierzchnia zamknięta (2D). Dlatego prawo Gaussa wiąże całkę po otoczce $\oiint_{\partial V}$ z całką po wnętrzu $\iiint_{V}$.

Postać różniczkowa („polowa", punktowa):
• Zapis z operatorem $\nabla$ (np. $\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0$) albo prosta relacja pól ($\vec{J}=\sigma\vec{E}$) to prawo w wersji PUNKTOWEJ — obowiązuje osobno w każdym punkcie pola. Nie ma w niej całki ani obszaru, bo niczego nie sumujemy; opisuje „gęstość" zjawiska w danym miejscu.
• Postać całkową (z obszarem) i różniczkową (punktową) łączą twierdzenia: Stokesa $\;\oint_{C}\leftrightarrow\iint_{S}\;$ (kontur ↔ rozpięta na nim powierzchnia) oraz Gaussa-Ostrogradskiego $\;\oiint_{\partial V}\leftrightarrow\iiint_{V}\;$ (otoczka ↔ objętość).

Przykład odczytu — prawo Gaussa $\oiint_{\partial V}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}$: „strumień pola $\vec{E}$ przez zamkniętą powierzchnię otaczającą ładunek jest równy temu ładunkowi podzielonemu przez $\varepsilon_0$".

Zmienne: $C$ — kontur zamknięty (krzywa); $S$ — powierzchnia otwarta; $\partial V$ — powierzchnia zamknięta (brzeg bryły); $V$ — objętość; $d\vec{l}$ — wektorowy element długości [m]; $d\vec{A}$ — wektorowy element powierzchni [m²]; $dV$ — element objętości [m³]; $\nabla$ — operator nabla (gradient / dywergencja / rotacja).

02 Etymologia

Warianty: integral notation & field forms

03 Powiązane