I prawo Kirchhoffa

01 Definicja

I prawo Kirchhoffa

ang. Kirchhoff's Current Law (KCL). Algebraiczna suma prądów w węźle jest równa zeru — wynika z zasady zachowania ładunku.

• Postać podstawowa (węzeł):
$$\sum_{k} I_{k} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \sum I_{wpływ} = \sum I_{wypływ}$$
• Postać zespolona (AC):
$$\sum_{k} \underline{I}_{k} = 0$$
• Postać różniczkowa (równanie ciągłości):
$$\nabla\cdot\vec{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$$
• Postać całkowa (powierzchnia zamknięta $\partial V$ otaczająca węzeł):
$$\oiint_{\partial V} \vec{J}\cdot d\vec{A} = -\frac{d}{dt}\iiint_{V}\rho\,dV$$

W stanie ustalonym prawa strona = 0, co daje klasyczne $\sum I_k = 0$.

Zmienne: $I_{k}$ — prąd $k$-tej gałęzi [A]; $\vec{J}$ — gęstość prądu [A/m²]; $\rho$ — gęstość ładunku [C/m³]; $\partial V$ — powierzchnia zamknięta; $V$ — objętość węzła.

Co oznacza zapis (obszar całkowania i postać polowa): $\int_{a}^{b}$ — sumowanie po jednej zmiennej od granicy dolnej $a$ do górnej $b$ (np. po czasie); $\oint_{C}$ — po konturze zamkniętym $C$ (całej pętli); $\iint_{S}$ — po powierzchni otwartej $S$ (błonie rozpiętej na konturze); $\oiint_{\partial V}$ — po powierzchni zamkniętej $\partial V$, czyli otoczce bryły (brzegu objętości $V$); $\iiint_{V}$ — po całej objętości $V$. Kółko na całce ($\oint$, $\oiint$) mówi, że obszar jest zamknięty i sam się domyka — dlatego nie podaje się granic liczbowych, wystarczy nazwać kontur $C$ lub powierzchnię $\partial V$. Bez kółka obszar jest otwarty, więc trzeba go wskazać ($S$, $V$) albo podać granice ($\int_{0}^{t}$). Postać różniczkowa/„polowa" z operatorem $\nabla$ (np. $\nabla\cdot\vec{E}$, $\vec{J}=\sigma\vec{E}$) to relacja punktowa — obowiązuje w każdym punkcie osobno, nie ma w niej żadnego obszaru; całka pojawia się dopiero, gdy liczymy wielkość sumaryczną (ładunek, strumień, moc) po jakimś obszarze.

02 Etymologia

Warianty: Kirchhoff's Current Law (KCL)

03 Powiązane