Prawo Coulomba

01 Definicja

Prawo Coulomba

ang. Coulomb's law. Siła oddziaływania dwóch ładunków punktowych jest wprost proporcjonalna do iloczynu ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości.

• Postać inżynierska (skalarna):
$$F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1 q_2}{r^{2}}$$
• Postać wektorowa (siła na $q_2$ od $q_1$):
$$\vec{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1 q_2}{r^{2}}\,\hat{r}$$
• Natężenie pola od ładunku punktowego:
$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^{2}}\,\hat{r}$$
• Postać polowa (całkowa, powierzchnia zamknięta — związek z prawem Gaussa):
$$\oiint_{\partial V} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_{V}\rho\,dV$$
• Energia potencjalna pary ładunków (praca całkowa od $\infty$ do $r$):
$$E_p = \int_{\infty}^{r} \vec{F}\cdot d\vec{l} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1 q_2}{r}$$

Przekształcenia: $q_1 = \dfrac{F r^{2}}{k\,q_2}$ ; $\; q_2 = \dfrac{F r^{2}}{k\,q_1}$ ; $\; r = \sqrt{\dfrac{k\,q_1 q_2}{F}}$ ; $\; k = \dfrac{F r^{2}}{q_1 q_2}$

Przykład: dwa ładunki $q_1 = q_2 = 1\,\mu\text{C}$ w odległości $r = 1\,\text{m}$: $F = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\dfrac{(10^{-6})^{2}}{1^{2}} \approx 8{,}99\cdot10^{-3}\,\text{N}$.

Zmienne: $F$ — siła [N]; $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99\cdot10^{9}$ N·m²/C² — stała Coulomba; $q_1,q_2,q$ — ładunki [C]; $r$ — odległość [m]; $\hat{r}$ — wersor kierunku; $\vec{E}$ — natężenie pola elektrycznego [V/m]; $E_p$ — energia potencjalna [J]; $\rho$ — gęstość ładunku [C/m³]; $\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m — przenikalność próżni.

Co oznacza zapis (obszar całkowania i postać polowa): $\int_{a}^{b}$ — sumowanie po jednej zmiennej od granicy dolnej $a$ do górnej $b$ (np. po czasie); $\oint_{C}$ — po konturze zamkniętym $C$ (całej pętli); $\iint_{S}$ — po powierzchni otwartej $S$ (błonie rozpiętej na konturze); $\oiint_{\partial V}$ — po powierzchni zamkniętej $\partial V$, czyli otoczce bryły (brzegu objętości $V$); $\iiint_{V}$ — po całej objętości $V$. Kółko na całce ($\oint$, $\oiint$) mówi, że obszar jest zamknięty i sam się domyka — dlatego nie podaje się granic liczbowych, wystarczy nazwać kontur $C$ lub powierzchnię $\partial V$. Bez kółka obszar jest otwarty, więc trzeba go wskazać ($S$, $V$) albo podać granice ($\int_{0}^{t}$). Postać różniczkowa/„polowa" z operatorem $\nabla$ (np. $\nabla\cdot\vec{E}$, $\vec{J}=\sigma\vec{E}$) to relacja punktowa — obowiązuje w każdym punkcie osobno, nie ma w niej żadnego obszaru; całka pojawia się dopiero, gdy liczymy wielkość sumaryczną (ładunek, strumień, moc) po jakimś obszarze.

02 Etymologia

Warianty: Coulomb's law

03 Powiązane