Równania Maxwella

01 Definicja

Równania Maxwella

ang. Maxwell's equations. Komplet praw pola elektromagnetycznego — w postaci całkowej i różniczkowej.

1) Prawo Gaussa (elektryczne):
$$\oiint_{\partial V} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \qquad \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
2) Prawo Gaussa (magnetyczne):
$$\oiint_{\partial V} \vec{B}\cdot d\vec{A} = 0 \qquad \nabla\cdot\vec{B} = 0$$
3) Prawo indukcji Faradaya:
$$\oint_{C} \vec{E}\cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt}\iint_{S} \vec{B}\cdot d\vec{A} \qquad \nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$
4) Prawo Ampère’a-Maxwella:
$$\oint_{C} \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A} \qquad \nabla\times\vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

Z równań wynika fala elektromagnetyczna o prędkości $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$.

Zmienne: $\vec{E}$ — natężenie pola elektrycznego [V/m]; $\vec{B}$ — indukcja magnetyczna [T]; $Q$ — ładunek [C]; $\rho$ — gęstość ładunku [C/m³]; $\vec{J}$ — gęstość prądu [A/m²]; $I$ — prąd [A]; $\Phi_B$ — strumień magnetyczny [Wb]; $\Phi_E$ — strumień elektryczny [V·m]; $\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m; $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}$ H/m; $c$ — prędkość światła [m/s].

Co oznacza zapis (obszar całkowania i postać polowa): $\int_{a}^{b}$ — sumowanie po jednej zmiennej od granicy dolnej $a$ do górnej $b$ (np. po czasie); $\oint_{C}$ — po konturze zamkniętym $C$ (całej pętli); $\iint_{S}$ — po powierzchni otwartej $S$ (błonie rozpiętej na konturze); $\oiint_{\partial V}$ — po powierzchni zamkniętej $\partial V$, czyli otoczce bryły (brzegu objętości $V$); $\iiint_{V}$ — po całej objętości $V$. Kółko na całce ($\oint$, $\oiint$) mówi, że obszar jest zamknięty i sam się domyka — dlatego nie podaje się granic liczbowych, wystarczy nazwać kontur $C$ lub powierzchnię $\partial V$. Bez kółka obszar jest otwarty, więc trzeba go wskazać ($S$, $V$) albo podać granice ($\int_{0}^{t}$). Postać różniczkowa/„polowa" z operatorem $\nabla$ (np. $\nabla\cdot\vec{E}$, $\vec{J}=\sigma\vec{E}$) to relacja punktowa — obowiązuje w każdym punkcie osobno, nie ma w niej żadnego obszaru; całka pojawia się dopiero, gdy liczymy wielkość sumaryczną (ładunek, strumień, moc) po jakimś obszarze.

02 Etymologia

Warianty: Maxwell's equations

03 Powiązane