Prawo Gaussa

01 Definicja

Prawo Gaussa

ang. Gauss's law. Strumień pola elektrycznego przez powierzchnię zamkniętą jest równy ładunkowi objętemu tą powierzchnią podzielonemu przez przenikalność próżni.

• Postać całkowa (elektryczna, powierzchnia zamknięta $\partial V$):
$$\oiint_{\partial V} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{obj}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_{V}\rho\,dV$$
• Postać różniczkowa (lokalna):
$$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
• Z wektorem indukcji elektrycznej $\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E}$:
$$\oiint_{\partial V} \vec{D}\cdot d\vec{A} = Q_{obj} \qquad \nabla\cdot\vec{D} = \rho$$
• Dla magnetyzmu (brak monopoli):
$$\oiint_{\partial V} \vec{B}\cdot d\vec{A} = 0 \qquad \nabla\cdot\vec{B} = 0$$

Przekształcenia (pole ładunku punktowego, powierzchnia sferyczna o promieniu $r$): $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}$ ; $\; Q = 4\pi\varepsilon_0 r^{2} E$ ; $\; r = \sqrt{\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 E}}$

Zmienne: $\vec{E}$ — natężenie pola elektrycznego [V/m]; $\vec{D}$ — indukcja elektryczna [C/m²]; $Q_{obj}$ — ładunek objęty powierzchnią [C]; $\rho$ — gęstość ładunku [C/m³]; $\vec{B}$ — indukcja magnetyczna [T]; $\partial V$ — powierzchnia zamknięta; $V$ — objętość wewnątrz; $\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m.

Co oznacza zapis (obszar całkowania i postać polowa): $\int_{a}^{b}$ — sumowanie po jednej zmiennej od granicy dolnej $a$ do górnej $b$ (np. po czasie); $\oint_{C}$ — po konturze zamkniętym $C$ (całej pętli); $\iint_{S}$ — po powierzchni otwartej $S$ (błonie rozpiętej na konturze); $\oiint_{\partial V}$ — po powierzchni zamkniętej $\partial V$, czyli otoczce bryły (brzegu objętości $V$); $\iiint_{V}$ — po całej objętości $V$. Kółko na całce ($\oint$, $\oiint$) mówi, że obszar jest zamknięty i sam się domyka — dlatego nie podaje się granic liczbowych, wystarczy nazwać kontur $C$ lub powierzchnię $\partial V$. Bez kółka obszar jest otwarty, więc trzeba go wskazać ($S$, $V$) albo podać granice ($\int_{0}^{t}$). Postać różniczkowa/„polowa" z operatorem $\nabla$ (np. $\nabla\cdot\vec{E}$, $\vec{J}=\sigma\vec{E}$) to relacja punktowa — obowiązuje w każdym punkcie osobno, nie ma w niej żadnego obszaru; całka pojawia się dopiero, gdy liczymy wielkość sumaryczną (ładunek, strumień, moc) po jakimś obszarze.

02 Etymologia

Warianty: Gauss's law

03 Powiązane